滑らかな曲線

川崎の考えた（もちろん一般には既知だけど）平面上の点の間を 滑らかに結ぶ曲線を描く方法のいくつかを記します。 この「滑らかな曲線」問題に関しては、高校時代から興味を 持っておりました。 今まで何気なく使っているイラストレータの「ベジェ曲線」とは どういうアルゴリズムだったのか。それがようやく解明されました。

• 任意の2点AとBを、中心角90度の扇(円弧)の投影変換で結ぶ方法 (1997/07/13)
  「楽譜のスラーを描くアルゴリズムは？」という問題に応じて考えた この「滑らかな曲線」問題への最初の回答（案）。 まとめと改良版 も出されているが、どちらにしろ 計算量が多いかもしれない。 （自分では動作確認をしたことがない）
  
  
• n個の点を通る曲線の一般形 (1998/01/31)
  強引にでも、任意個の点全てを通る曲線を作ってしまう方法。 アルゴリズムとしては何個の点でも対応できるのだけど、 それが本当に実用に絶えうるのかは全く保証できません。 あまり点数が多いと、遅くなるし、点の結び方もかなり強引になって、 「確かに滑らかでないとはいえないけど、何か 違うんでないの？」系の妖しい曲線になる可能性も高い（笑）。 また、導いた手順ではなく公式と結果のみを載せてあるので、 たぶん分かり難いです。 ここでは紹介していないが、逆行列を求めるための 素晴らしいアルゴリズムを清水氏から教わりました。感謝。
  
  
• 任意の3点から定義できる滑らかな曲線 (1998/02/01)
  点数を任意ではなく、3点に限って詳しく解説したもの。 また、3点のうち端の点は通るが、真ん中の点は（確実に 通るのではなく）そこにどれだけ近づくかのパラメタを設定できる。 前半の方程式は高校生でも理解できるように書いたつもり。
  
  
• ベジェ曲線のできるまで (1998/02/01)
  上記3点の解き方を4点に応用したもの。 ベジェ曲線のマトリクスができあがった。 作業手順は3点の場合と同じなので、簡潔に記した。 ただし、本来はベジェ曲線のマトリクスは もっと別の方法で取得できるはず。 正しい仕様は知りません。:-)
  

特に書籍等も読まずに（ばか）、ぐりぐりと式を作っていたら 思いもよらずベジェ(Bezeir)曲線がでてきてしまいました。 気が向いたら、B スプライン曲線も作ってしまいたくなるかもしれません（笑）。 感想、叱咤、激励 などなど、お待ちしております。