任意の3点から定義できる滑らかな曲線
1998年2月1日（日） 川崎 有亮
曲線を定義する
その3点をそれぞれP0、P1、P2として、曲線はP0とP2を通るものとします。
0≦t≦1なるtをパラメタとして、その曲線上の点X(t)は
(X(1) = P2の誤り)
と表すことができます。このとき、曲線の中間の点(t=1/2)をどこに置くかということが最初の問題になりますが、とりあえず「P1と直線P0- P2の中点をh : 1-hの比に分ける点」を通るものとします。
このhの値を変更することで、曲線の曲がり具合を調節することができます。例えば、h=1のときはP1を通る曲線となり、h=0のときは直線P0- P2となります。
方程式で解く
ここで、(1)〜(3)式からP0、P1、P2の恒等式を解いて
が言えます。gk(t)はそれぞれ放物線を描くと仮定して、一般式をたててみます。
このとき、
がそれぞれ極値（放物線の出っ張ったところで最大値か最小値）であるとすれば、
となります。これはもちろん、(5)式を微分して
だからです。さらに(7)式に(6)式から適当な値を代入してみると
として、各式が求まりました。
です。(1)(10)式により、線分P0-P2 の中点とP1の中点をPSと呼ぶとすれば、曲線P0-PS-P2を描くことができます。(∵h=1/2)
曲線の検証
ところで、X(t)は三角形P0-P1-P2の内側に入るとき、各係数の和が
（≦でなく＝の誤り）
となることが分かっています。この証明はそれほど難しくありませんが、ここでは省略します。(12)式に基づいて、(11)式を検証してみます。
tに関らず和は常に1になりました。この曲線P0-P1-P2は常に三角形P0-P1-P2の内側にあり、つまり理想的な曲線と言えるのではないでしょうか。（点P0付近では直線P0-P1に、点P2付近では直線P1-P2に接した曲線となります）
行列に書き換える
(11)式で主題は解決しましたが、次にこれを行列に書き換えて考えてみます。
なお、Tとは転置行列(transposed)で、縦横を変えて表示しています。
ところで、(1)式も行列の積として書き換えることができます。
(14)(15)式をまとめると、
が得られます。
行列で解く（h=1/2）
hの値、すなわち曲線の中間の点X(1/2)の位置が分かっている場合、(4)〜(11)式の面倒だった演算も行列を使って簡単になります。gk(t)の一般式を
として、まずこの右辺を行列にします。
次にk=0,1,2について、行列の列方向に展開します。
最後に座標の分かっているt = 0, 1/2, 1について、(19)式を行列の行方向に展開して、それぞれ値を代入していきます。
これを解くと、
が得らます。この結果は、(11)(17)式からも確認することができます。
3点を通る場合(h=1)
この同じ方法を用いて、h=1の場合、すなわち
というこの3点を通る曲線P0-P1-P2を考えることができます。(20)式より
とおきます。これを解いて
というマトリクスを得られます。(16)式のように書き直すと
が得られます。
n点を通る曲線
また、このX(1/2)=P1のときの操作は逆行列を求めたのと同じですから、
とも書けます。これを使うと、(26)式は
と変形することもできます。
これは、別に述べている「n点を通る曲線」の一般式を満たしています。
重心を通る曲線(h=1/3)
この他にもh=1/3の場合も同様に求められます。三角形の重心PGとすれば、すなわちX(1/2)=PGとなり、この3点を通る曲線P0-PG-P2は
と表現できます。
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