n個の点を通る曲線の一般形

1998年1月30日（土）川崎有亮

　
X_n(t)は、この曲線の時刻tにおける位置ベクトルです。パラメタのtが0～1に移動する間に X_n(t) の描く軌跡は、「滑らか」な曲線になっているはずです。ただし、P_kは第k+1個目の点の位置ベクトル、 m_kはその点を通る時点でのパラメタ t（時刻）を指定する定数です（0≦k≦n-1, 0≦m_k≦1）。なお、m_kは例えば

と一般化することもできます。（この限りでもない）
　
具体的に解くと、例えばn=1のときX₁(t)はこのようになります。

つまり「1点を通る曲線」(?)は、パラメタtの変化に関らず点P₀から移動しません。これは当たり前とも言え、つまらないので、次に2点を結んでみます。

パラメタtを介してP₀～P₁を直線的に移動しています（1次曲線です）。「2点を通る曲線」とは直線が最も簡単な形（最短）であり、また確かにこれは「滑らか」ということもできるでしょう。
続けて、3点を結んでみます。

これは、P₁を原点（極値）とした放物線のようなグラフになります（2次曲線です）。
同様に4点を結ぶ場合は

となります。
　
これらのマトリックスの演算を行うプログラムを組むことで、「任意個の点を通る曲線」を描くことができます。ただし、実際にはX₃(t)やX₄(t)の連続として任意個の点を結んだほうが、全体としての計算量が少なく済むと思われます。
（各点間で複数の曲線を生成できてしまう部分は、それらの間を X₂(t) のようにパラメタで補間する）
　
この一般形を導いた手順は別に記します。